Question

對于形如x²+2ax+a²這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）²的形式．但對于二次三項式x²+2ax-3a²，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x²+2ax-3a²中先加上一項a²，使它與x²+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a²，整個式子的值不變，于是有：
x²+2ax-3a²=（x²+2ax+a²）-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添一適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：
①a²-6a-7；
②a⁴+a²b²+b⁴．
（2）若a+b=5，ab=6，求：
①a²+b²；
②a⁴+b⁴的值．

Answer 1

解：（1）利用“配方法”分解因式：
①a²-6a-7
=a²-6a+9-9-7
=（a-3） ²-16
=（a-3+4）（a-3-4）
=（a+1）（a-7）；

②a⁴+a²b²+b⁴，
=a⁴+a²b²+b⁴+a²b²-a²b²，
=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²，
=（a²+b²）²-a²b²，
=（a²+b²-ab）（a²+b²+ab）；

（2）若a+b=5，ab=6，求：
①a²+b²=（a+b） ²-2ab，
將a+b=5，ab=6代入上式得：
原式=5 ²-2×6=25-12=13；

②a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²，
=13²-2×6²，
=97．
分析：（1）①前兩項加9再減9，可以組成完全平方式；
②利用原式加上a²b²，再減去a²b²，由完全平方公式即可；
（2）①加2ab再減2ab可以組成完全平方式；
②在①得基礎上，加2a²b²再減2a²b²，可以組成完全平方式．
點評：本題考查十字相乘法分解因式，配方法是數學習題里經常出現的方法，應熟練掌握．