Question

根據所給的圖形解答下列問題：
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD繞點A旋轉，并拼接成一個與△ABC面積相等的正方形，請你在圖中完成這個作圖；
（2）如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，請你設計一種與（1）不同的方法，將這個三角形拆分并拼接成一個與其面積相等的正方形，畫出利用這個三角形得到的正方形；
（3）設計一種方法把圖3中的矩形ABCD拆分并拼接為一個與其面積相等的正方形，請你依據此矩形畫出正形，并根據你所畫的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結論．

Answer 1

分析：（1）、（2）根據圖形旋轉的性質及圖形拼接前后面積不變畫出圖形即可；
（3）根據題意畫出圖形，先證出四邊形EFGC是矩形，△AHB∽△GBC，由矩形的性質及相似三角形的性質可得出四邊形EFGC是正方形，再由BH∥CE，HE∥BC，BH=CE可得EFGC是正方形，Rt△BAH≌Rt△CDE，S_△BAH=S_△CDE，根據EF∥CGEH∥CB可得出S_△EFH=S_△CGB，進而可得出結論．

解答：解：（1）如圖1；

（2）如圖2，M、N分別是HE、GF的中點；

（3）如圖3，設AB=a，BC=b
①以點B為圓心，以BH=

ab

為半徑畫弧，交AD于H；
②過C點作CE∥BH交AD的延長線于E，過點C作CG⊥BH于點G；
③過E點作EF⊥CE于E，交BH的延長線于F，則正方形EFGC為所求．
證明：
易證四邊形EFGC是矩形，
可證△AHB∽△GBC，
∴

AB

CG

=

BH

BC

，
∴

a

CG

=

ab

b

，CG=

ab

∴四邊形EFGC是正方形．
∵BH∥CE，HE∥BC，
∴四邊形BCEH是平行四邊形．
∴BH=CE．
∴EFGC是正方形．
易證Rt△BAH≌Rt△CDE．
∴S_△BAH=S_△CDE．
∵EF∥CGEH∥CB，
∴∠FEH=∠GCB．
又∵∠EFH=∠CGB=90°，EF=CG，
∴△EFH≌△CGB．
∴S_△EFH=S_△CGB．
∴S_{正方形EFGC}=S_矩形ABCD．
∴四邊形EFCG為所求．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到全等三角形的判定與性質、正方形的性質及作圖-應用與設計作圖，熟知以上知識是解答此題的關鍵．