Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC=PE·PO .

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若OE:EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑；

（3）在（2）問下，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OC，根據PC²=PE?PO和∠P=∠P，可證得△PCO∽△PEC，即可證得∠PCO=∠PEC，再結合已知條件即可得出PC⊥OC，從而證得結論；（2）3；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據和∠P=∠P，可證得△PCO∽△PEC，即可證得∠PCO=∠PEC，再結合已知條件即可得出PC⊥OC，從而證得結論；

（2）設OE=x，則AE=2x，根據切割線定理得，則，解一元二次方程即可求出x，從而得出⊙O的半徑；

（3）連接BC，根據PC是⊙O的切線，得∠PCA=∠B，根據勾股定理可得出CE，BC，再由三角函數的定義即可求出結果．

（1）∵ 

∴

∵∠P=∠P

∴△PCO∽△PEC

∴∠PCO=∠PEC

∵CD⊥AB

∴∠PEC=90°

∴∠PCO=90°

∴PC是⊙O的切線；

（2）設OE=x

∵OE：EA=1：2

∴AE=2x

∵

∴

∵PA=6

∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），

解得x=1

∴OA=3x=3

∴⊙O的半徑為3；

（3）連接BC

∵

∴

∴

∴

∵PC是⊙O的切線

∴∠PCA=∠B

考點：切線的判定和性質，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的定義

點評：本題是一道綜合性的題目，主要考查了學生對各種定義的綜合應用能力，是中考壓軸題，難度中等．