Question

如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性質即可解答；
（2）過F作FH⊥MN于H，根據正方形及直角三角形的性質可求出△ABE≌△EHF，根據三角形全等可求出BE=HF，AB=EH，通過等量代換可得CH=FH，利用等腰直角三角形的性質即可解答．
解答：（1）證明：
∵四邊形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
即∠1=∠2，∴△ADG≌△ABE；（3分）

（2）解：∠FCN=45°，（4分）
理由如下：
過F作FH⊥MN于H，則∠EHF=90°，
∵四邊形ABCD、AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，∠ABE=∠AEF=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠5，
又∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△ABE≌△EHF，（6分）
∴BE=HF，AB=EH，
∴BC=EH，
∴HC=BE，
∴在Rt△CHF中，CH=FH，
∴∠FCN=∠CFH=45°．（8分）
點評：此題比較復雜，涉及到正方形的性質及全等三角形的判定定理、直角三角形的性質，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用直角三角形及全等三角形的性質解答．