Question

【題目】已知，如圖，BC是以線段AB為直徑的⊙O的切線，AC交⊙O于點D，過點D作弦DE⊥AB，垂足為點F，連接BD、BE．

（1）仔細觀察圖形并寫出三個不同類型的正確結論：

①　 　，②　 　，③　 　，（不添加其它字母和輔助線，不必證明）；

（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】（1）結論：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；（2）

【解析】

（1）結論可以有：①DF=FE，BD=BE，②△BDF≌△BEF，③∠A=∠E，∠BDF=∠BEF④BC⊥AB，AD⊥BD，DE∥BC等；由BC是 O的切線，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根據DE∥BC和垂徑定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等邊對等角得∠E=∠EDB；再由圓周角定理得∠A=∠E，可證△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；等．
（2）當∠A=30°時，BD=AB=r，∠C=60°，再根據Rt△BCD中，tan60°可求得r=2 ．

解：（1）結論：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；

理由：∵AB是直徑，DE⊥AB，

∴DF=EF，弧BD=弧BE，

∴BD=BE，

∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），

根據圓周角定理可知：∠A=∠E．

故答案為DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

又∵∠A=30°，

∴BD=ABsinA=ABsin30°= AB=r；

又∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBA=90°，

∴∠C=60°；

在Rt△BCD中，

CD=2，

∴ =tan60°，

∴r=2 ．