Question

如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長線交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半徑；（2）求CE的長和△AFC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)切割線定理求出CA的長，然后在Rt△ACD中，用勾股定理求出AB即⊙O的半徑長；
（2）在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，易求得CE的長；由切割線定理得CD²=CE•CF，由此可求出CF和EF的長；在△AFC中，已知底邊CF的長，關(guān)鍵是求出CF邊上的高；過A作AG⊥CF于G，通過相似三角形△AEG和△CEB得出的成比例線段可求出AG的長；由此可根據(jù)三角形的面積公式求得△AFC的面積．

解答：解：（1）四邊形ABCD為矩形，AB=4；∴CD=4．
在Rt△ACD中，AC²=CD²+AD²；
∴（2+AD）²=4²+AD²；
解得AD=3．

（2）過A點(diǎn)作AG⊥EF于G；
∵BC=3，BE=AB-AE=4-3=1．
∴CE=

BC2+BE2

=

32+12

=

10

．
由CE•CF=CD²，得：
CF=

CD2

CE

=

42

10

=

8

5

10

．
又∵∠B=∠AGE=90°，∠BEC=∠GEA，
∴△BCE∽△GAE；
∴

BC

AG

=

CE

AE

，即

3

AG

=

10

3

．
∴AG=

9

10

10

．
∴S_△AFC=

1

2

CF•AG=

1

2

×

8

5

10

×

9

10

10

=

36

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查的是切割線定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．