Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E，且DC=DE.

（1）求證：∠A=∠AEB.

（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠DCE+∠BCD=180°，進(jìn)而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對(duì)等角可得∠DCE=∠AEB，進(jìn)而可得∠A=∠AEB；

（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進(jìn)而可得∠AEB=60°，再根據(jù)∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進(jìn)而可得△ABE是等邊三角形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠A=∠DCE，

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠AEB，

∴∠A=∠AEB；

（2）∵∠A=∠AEB，

∴△ABE是等腰三角形，

∵EO⊥CD，

∴CF=DF，

∴EO是CD的垂直平分線，

∴ED=EC，

∵DC=DE，

∴DC=DE=EC，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠AEB=60°，

∴△ABE是等邊三角形．