Question

如圖，已知二次函數(shù)L₁：y=x²﹣4x+3與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）寫出二次函數(shù)L₁的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）研究二次函數(shù)L₂：y=kx²﹣4kx+3k（k≠0）．

①寫出二次函數(shù)L₂與二次函數(shù)L₁有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；

②若直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專題：綜合題。

分析：（1）拋物線y=ax2+bx+c中：a的值決定了拋物線的開口方向，a＞0時(shí)，拋物線的開口向上；a＜0時(shí)，拋物線的開口向下．

拋物線的對稱軸方程：x=﹣；頂點(diǎn)坐標(biāo)：（﹣，）．

（2）①新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)乘以k所得，因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行分析．

②聯(lián)系直線和拋物線L₂的解析式，先求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出EF的長，若該長度為定值，則線段EF的長不會發(fā)生變化．

解答：解：（1）拋物線y=x²﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；

∴﹣=﹣=2，==﹣1；

∴二次函數(shù)L₁的開口向上，對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，﹣1）．

（2）①二次函數(shù)L₂與L₁有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：

對稱軸為x=2或定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

都經(jīng)過A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)；

②線段EF的長度不會發(fā)生變化．

∵直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點(diǎn)，

∴kx²﹣4kx+3k=8k，

∵k≠0，∴x²﹣4x+3=8，

解得：x₁=﹣1，x₂=5，∴EF=x₂﹣x₁=6，

∴線段EF的長度不會發(fā)生變化．

點(diǎn)評：該題主要考查的是函數(shù)的基礎(chǔ)知識，有：二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的解法等，難度不大，但需要熟練掌握．