Question

如圖，AD和AC分別是⊙O的直徑和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AC，連接BD．
（1）求證：CB=AB；
（2）若BD=5，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OB經過圓心且垂直于弦AC，由垂徑定理即可得到所求的結論；
（2）此題要通過構建直角三角形求解；連接CD，由圓周角定理知∠ACD=90°；可分別在Rt△ACD和Rt△AOB中，用⊙O的半徑表示出CD、AB（即BC）的長，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求得⊙O的半徑，即可得到AD的長．
解答：（1）證明：∵OB⊥AC，OB經過圓心，
∴CB=AB；

（2）解：連接CD，設⊙O的半徑為r；
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°；
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=r，AC=r；
∴BC=r；
在Rt△BCD中，r²+r²=25，r=；
∴AD的長為．
點評：此題主要考查的是圓周角定理、垂徑定理及勾股定理的綜合應用能力．