Question

如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△B₂D₁C₁的面積為S₁，△B₃D₂C₂的面積為S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面積為S_n，則S_n=    （用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：由n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B₁，B₂，B₃，…B_n在一條直線上，可作出直線B₁B₂．易求得△AB₁C₁的面積，然后由相似三角形的性質，易求得S₁的值，同理求得S₂的值，繼而求得S_n的值．
解答：解：n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B₁，B₂，B₃，…B_n在一條直線上，作出直線B₁B₂．
∴S_△AB1C1=×2×=，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等邊△，且邊長=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=，
同理：B_nB_n+1：AC_n=1：n，
∴B_nD_n：D_nC_n=1：n，
∴S_n=．
故答案為：．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，注意輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．