Question

正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）先根據正方形的性質得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，則∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，再根據相似三角形的判定即可得到結論；
（2）由（1）的結論得到AB：MC=BM：NC，把AB=4，BM=x，MC=4-x代入表示出NC，再根據梯形的面積公式得y=

1

2

（NC+AB）•BC，把NC、AB和BC的長代入得到y與x之間的函數關系式；然后運用配方法將二次函數寫成頂點式，根據二次函數的性質即可求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴AB：MC=BM：NC，
而AB=4，BM=x，MC=4-x，
∴4：（4-x）=x：NC，
∴NC=

4x-x2

4

，
∴y=

1

2

（NC+AB）•BC
=

1

2

（

4x-x2

4

+4）×4
=-

1

2

x²+2x+8．
即y與x之間的函數關系式為y=-

1

2

x²+2x+8；
∵y=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴當x=2，即當M點運動到BC中點時，四邊形ABCN面積最大，最大面積是10．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了正方形的性質，梯形的面積公式以及二次函數的最值，難度中等．