Question

將一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放，點E, A, D, B在一條直線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉（0°＜＜90°）角，在旋轉過程中，直線DE與AC相交于點M，直線DF與BC相交于點N，分別過點M, N作直線AB的垂線，垂足分別為G, H.

（1）當=30°時（如圖2），求證：AG=DH;

（2）當=60°時（如圖3），（1）中的結論是否仍成立？請寫出你的結論，并說明理由.

Answer 1

見解析.

試題分析：（1）由α=30°知∠ADM=30°，∠A=30°，所以∠ADM=∠A．AM=DM．又由MG⊥AD于G，可得:AG=AD．又有∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，證得△CDB是等邊三角形．又CH⊥DB于H，DH=DB．根據直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半得:BC=AB．由BC=BD，所以有AD=DB．從而證得AG=DH．
（2）在△AMD與△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，可得△AMD≌△DNB，所以AM=DN．在△AMG與△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，又可證得△AMG≌△DNH．
∴AG=DH．
試題解析：（1）∵α=30°，∴∠ADM=30°，
∵∠A=30°，∴∠ADM=∠A．
∴AM=DM．
又∵MG⊥AD于G，
∴AG=AD．
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，
∴△CDB是等邊三角形．
又∵CH⊥DB于H，
∴DH=DB．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB．
∵BC=BD，∴AD=DB．
∴AG=DH．
（2）結論成立．理由如下：
在△AMD與△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN．
又∵在△AMG與△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，
∴△AMG≌△DNH．
∴AG="DH" ．