Question

已知關于x的方程（m-1）x²-x-2=0．
（1）若x=-1是方程的一個根，求m的值和方程的另一根；
（2）當m為何實數時，方程有實數根；
（3）若x₁，x₂是方程的兩個根，且

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=-

1

8

，試求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）根據方程的根的定義，把x=-1代入方程，即可求得m的值，根據一元二次方程的根與系數的關系可得兩根的和是

1

m-1

，即可求得方程的另一根；
（2）根據m=1和m≠1兩種情況，當m≠1時方程有實數根，即判別式△≥0，即可得到關于m的不等式，從而求解；
（3）根據根與系數關系：兩根之和等于-

b

a

，兩根之積等于

c

a

．且

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=-

1

8

，即x₁x₂（x₁+x₂）=-

1

8

．代入即可得到一個關于m的方程，從而求解．

解答：解：（1）將x=-1代入原方程得m-1+1-2=0
解得：m=2，
設方程的另一根是x，則x-1=1
∴另一根為x=2．
（2）當m=1時，方程是一元一次方程，-x-2=0，此時的實數解為x=-2；
當m不等于1時，原方程為一元二次方程，要使方程有實數根，則有△=b²-4ac≥0，
∴1+4×2（m-1）≥0．
解得：m≥

7

8

．
即當m≥

7

8

時，方程有實數根．
（3）∵x₁+x₂=

1

m-1

，x₁x₂=-

2

m-1

．
x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=（-

2

m-1

）（

1

m-1

）=-

1

8

．
解得：m₁=5，m₂=-3，
∵m≥

7

8

，
∴m=5．

點評：本題雖然問題較多，但是難度不大，可以依次代入求解，求解時要注意根與系數關系的應用．