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如圖,在平面直角坐標系中,點P從原點O出發,沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒(t>0),拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P,已知矩形ABCD的三個頂點為 A (1,0),B (1,-5),D (4,0).
(1)求c,b (用含t的代數式表示):
(2)當4<t<5時,設拋物線分別與線段AB,CD交于點M,N.
①在點P的運動過程中,你認為∠AMP的大小是否會變化?若變化,說明理由;若不變,求出∠AMP的值;
②求△MPN的面積S與t的函數關系式,并求t為何值時,
(3)在矩形ABCD的內部(不含邊界),把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”.若拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分,請直接寫出t的取值范圍.

【答案】分析:(1)由拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P,將點O與P的坐標代入方程即可求得c,b;
(2)①當x=1時,y=1-t,求得M的坐標,則可求得∠AMP的度數,
②由S=S四邊形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM,即可求得關于t的二次函數,列方程即可求得t的值;
(3)根據圖形,即可直接求得答案.
解答:解:(1)把x=0,y=0代入y=x2+bx+c,得c=0,
再把x=t,y=0代入y=x2+bx,得t2+bt=0,
∵t>0,
∴b=-t;

(2)①不變.
∵拋物線的解析式為:y=x2-tx,且M的橫坐標為1,
∴當x=1時,y=1-t,
∴M(1,1-t),
∴AM=|1-t|=t-1,
∵OP=t,
∴AP=t-1,
∴AM=AP,
∵∠PAM=90°,
∴∠AMP=45°;
②S=S四邊形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
=(t-4)(4t-16)+[(4t-16)+(t-1)]×3-(t-1)(t-1)
=t2-t+6.
t2-t+6=
得:t1=,t2=
∵4<t<5,
∴t1=舍去,
∴t=

(3)<t<
①左邊4個好點在拋物線上方,右邊4個好點在拋物線下方:無解;
②左邊3個好點在拋物線上方,右邊3個好點在拋物線下方:
則有-4<y2<-3,-2<y3<-1即-4<4-2t<-3,-2<9-3t<-1,<t<4且<t<,解得<t<
③左邊2個好點在拋物線上方,右邊2個好點在拋物線下方:無解;
④左邊1個好點在拋物線上方,右邊1個好點在拋物線下方:無解;
⑤左邊0個好點在拋物線上方,右邊0個好點在拋物線下方:無解;
綜上所述,t的取值范圍是:<t<
點評:此題考查了二次函數與點的關系,以及三角形面積的求解方法等知識.此題綜合性很強,難度適中,解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發,在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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