Question

如圖，⊙O₁、⊙O₂外切于點P，它們的半徑分別為4cm、1cm．直線l分別與⊙O₁、⊙O₂相切于A、B，且與直線O_lO₂相交于T．求AB和BT的長．

Answer 1

分析：連接圓心和各個切點，得到一個直角梯形，再作梯形的另一高．得到直角三角形，根據銳角三角函數的知識和勾股定理進行求解．

解答：解：連接O₂B，O₁A，作O₂D⊥O₁A．
∵直線l分別與⊙O₁、⊙O₂相切于A、B，
∴O₁A⊥l，O₂B⊥l，
又∵O₂D⊥O₁A，
∴四邊形DABO₂是矩形，
在直角三角形O₂DO₁中，O₂O₁=4+1=5，O₁D=4-1=3，
根據勾股定理得O₂D=4，
AB=O₂D=4；
tan∠O₁O₂D=

3

4

，
即tan∠O₁TA=

3

4

=

O1A

AT

=

O1A

AB+BT

，則BT=

4

3

cm．

點評：此題綜合運用了解直角三角形的知識和勾股定理．