Question

（2012•江門模擬）如圖，B是線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，⊙O是△ABC的外接圓．CE與⊙O相交于G，CE的延長線與AD的延長線相交于F．
（1）求證：△BCF∽△DEF；
（2）求證：BE是⊙O的切線；
（3）若

DE

BC

=

1

2

，求

EG

CG

．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC和△BDE都是等邊三角形，得出BC∥DE，再利用∠BCF=∠DEF，∠F=∠F，得出△BCF∽△DEF；
（2）根據已知得出∠EBO=180°-（∠ABO+∠DBE）=90°，再利用切線的判定定理得出即可；
（3）根據BC∥DE得：

DF

BF

=

DE

BC

=

1

2

，進而得出CE=

3

BE，EG=

3

3

BE，進而求出CE=3EG，從而

EG

CG

=

1

2

．

解答：證明：（1）∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，
∴∠ABC=∠BDE=60°，
∴BC∥DE，
∴∠BCF=∠DEF，
又∵∠F=∠F，
∴△BCF∽△DEF；

（2）連接OB，∵⊙O是△ABC的外接圓，△ABC是等邊三角形，
∴O也是△ABC的內心，
∴OB是∠ABC的平分線，∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠EBO=180°-（∠ABO+∠DBE）=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線；

（3）由（1）BC∥DE得：

DF

BF

=

DE

BC

=

1

2

，
所以DF=DB=DE，
所以∠F=∠DEF=∠BCE=30°，
連接OC、OG，與（2）同理得∠OCB=30°，
所以∠OCG=60°，
從而∠COG=60°，∠CBG=

1

2

COG=30°，
在△EBC中，∠BCE=30°，∠CBE=60°，∠CEB=90°，
tan60°=

CE

BE

=

3

，
所以CE=

3

BE，
同理在△EBG中，∠EBG=60°-30°=30°，∠GEB=90°，
tan30°=

GE

BE

，
所以EG=

3

3

BE，
所以CE=3EG，
從而

EG

CG

=

1

2

．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質以及解直角三角形、相似三角形的判定，根據已知得出EG，CE與BE的關系是解題關鍵．