Question

若a、b互為相反數，b、c互為倒數，并且m的立方等于它本身．
（1）試求

2a+2b

m+2

+ac值；
（2）若a＞1，且m＜0，S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+

1

2

|，試求4（2a一S）+2（2a-S）-（2a-S）的值．
（3）若m≠0，試討論：x為有理數時，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據a、b互為相反數，b、c互為倒數，得出a+b=0，bc=1，再代入所求代數式進行計算；
（2）根據a＞1及m的立方等于它本身把S進行化簡，再代入所求代數式進行計算；
（3）根據若m≠0，可知m=±1，①當m=1時，代入|x+m|-|x-m|，再根據絕對值的性質去掉絕對值符號，求出代數式的值，
②同理，當m=-1時代入所求代數式，再根據絕對值的性質去掉絕對值符號，求出代數式的值，即可．

解答：解：（1）∵a+b=0，bc=1，
∴ac=-1（3分）
∴

2a+2b

m+2

+ac=0-1=-1（4分）
（2）∵a＞1，
∴b＜-1，2a-3b＞0，b+

1

2

＜0（5分）
∵m的立方等于它本身，且m＜0
∴m=-1，b-m=b+1＜0（6分）
∴s=2a-3b+2b+2+b+

1

2

=2a+

5

2

∴2a-s=-

5

2

（7分）
4（2a-S）+2（2a-S）-（2a-S）
=5（2a-S）
=-

25

2

；（8分）

（3）若m≠0，此時m=±1（19分）
①若m=1，則|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|
當x≤-1時
|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2
當-1＜x≤1時
|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x
當x＞1時
|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2
∴當x為有理數時，存在最大值為2；（10分）
②若m=-1
同理可得：當x為有理數時，存在最大值為2．（11分）
綜上所述，當m=±1，x為有理數時，|x+m|-|x-m|存在最大值為2．（12分）

點評：本題考查的是絕對值的性質，相反數及倒數的定義，代數式求值，熟知以上知識是解答此題的關鍵．