Question

（2011•西雙版納）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，直線y=kx-1與拋物線交于A、C兩點，其中A（-1，0），B（3，0），點C的縱坐標為-3．
（1）求k的值；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，寫出所有滿足條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把（-1，0）代入y=kx-1，即可求得k的值；
（2）首先求得C的坐標，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（3）P在AC的中垂線上，首先求得AC的中垂線的解析式，然后與二次函數的解析式組成方程組，即可求得P的坐標．

解答：解：（1）把（-1，0）代入y=kx-1，得：-k-1=0，解得：k=-1；

（2）在y=-x-1中，令y=-3，解得：-x-1=-3，解得：x=2，則C的坐標是（2，-3）．
設拋物線的解析式是：y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
則函數的解析式是：y=x²-2x-3；

（3）A、C的中點是：（

1

2

，-

3

2

），
∵△ACP是等腰三角形，且以AC為底邊，
∴P在AC的中垂線上，
∴設AC的中垂線的解析式是：y=x+c，把（

1

2

，-

3

2

）代入得：

1

2

+c=-

3

2

，解得：c=-2．
則解析式是：y=x-2．
根據題意得：

y=x-2 y=x2-2x-3

；
解得：

x= 3+ 13 2 y= 13 -1 2

或

x= 3- 13 2 y=- 13 +1 2

．
故P的坐標是：（

3+ 13

2

，

13 -1

2

）或（

3- 13

2

，-

13 +1

2

）．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，理解互相垂直的直線的解析式之間的關系是關鍵．