Question

如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC=100米，高AH=80米，某單位要沿著地邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在AB、AC的邊上，問當這個矩形面積最大時，它的長與寬各是多少米？面積最大為多少平方米？

Answer 1

分析：設DG的長為x，矩形DEFG面積為y，易證得△ADG∽△ABC，那么它們的對應邊和對應高的比相等，可據此求出AP的表達式，進而可求出PH即DE、GF的長，已知矩形的長和寬，即可根據矩形的面積公式得到y、x的函數關系式；根據所得函數的性質及自變量的取值范圍，即可求出矩形的最大面積及對應的DG的長．

解答：解：（1）設DG的長為x，矩形DEFG面積為y，
∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，
∴DG∥BC，（1分）
∴△ADG∽△ABC（2分）
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∴

AP

80

=

DG

100

，（2分）
∴AP=

4

5

x，DE=PH=80-

4

5

x，（1分）
∴y=-

4

5

x2+80x（0＜x＜100）；（2分）

（2）y=-

4

5

x2+80x=-

4

5

（x²-100x+2500）+2000=-

4

5

（x-50）²+2000；（1分）
根據函數圖象可知，拋物線y=-

4

5

x2+80x，開口向下，拋物線的頂點坐標是它的最高點，且x=50在函數的定義域內；（1分）
所以當DG的長為50米，DE=40米時，矩形DEFG面積最大為2000平方米．（2分）
答：長與寬各是50米和40米，面積最大為2000平方米．

點評：本題考查了一元二次方程的最大值的求值問題，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，本題中求得x的值使得xy有最大值是解題的關鍵．