Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠BAC交BC于E，CD⊥AE交AE延長(zhǎng)線于D，連接BD，若BD=CD，⊙O是以AE為直徑的△ABE的外接圓，與AC交于點(diǎn)H．

（1）求證：BD為⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為1，BF平分∠ABC交AE于G，交⊙O于F；

①求的值．

②求BE2的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①2，②

【解析】

(1)由BD=CD，推出∠DBC=∠DCB，由OB=OE，推出∠OBE=∠OEB，從而證得∠DBC+∠OBE=90°，即可證明結(jié)論；

(2)①先證得∠ABF=∠GAF，從而證得△AFG∽△BFA，再證得△AOF是等腰直角三角形，即可證得結(jié)論；

②利用角平分線的性質(zhì)證得EH=HB，在△ABE中，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論．

(1)證明：連接OB．

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，

∵CD⊥AE交AE延長(zhǎng)線于D，

∴∠DCB+∠DEC=90°，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠DEC=∠BEO，

∴∠DBC+∠OBE=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD為⊙O的切線；

(2)①∵BF平分∠ABC，AE為直徑，

∴，∠ABE=90，

∴∠ABF=∠GAF=45，

∵∠AFG=∠BFA，

∴△AFG∽△BFA，

∴，

∴，

連接OF，

∵∠AOF=2∠ABF=90，且OA=OF，

∴△AOF是等腰直角三角形，

∴，

∴=2；

②連接EH．

∵AE為⊙O直徑，

∴∠AHE=90°，

∵等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠A交BC于E，

∴EH=HB，

∵等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°，

∴EC=EH=BE，

∴AB=BC=(1+)BE，

又∵AE=2，

∴在△ABE中有：，即，

解得：BE2=．