Question

【題目】永嘉某商店試銷一種新型節能燈，每盞節能燈進價為18元，試銷過程中發現，每周銷量y（盞）與銷售單價x（元）之間關系可以近似地看作一次函數y=﹣2x+100．（利潤=售價﹣進價）
（1）寫出每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間函數解析式；
（2）當銷售單價定為多少元時，這種節能燈每周能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
（3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于30元．若商店想要這種節能燈每周獲得350元的利潤，則銷售單價應定為多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）

=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z與x之間的函數解析式為z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）

（2）解：∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，

∴當x=34時，w取得最大，最大利潤為512萬元．

答：當銷售單價為34元時，廠商每周能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元．

（3）解：周銷售利潤=周銷量×（單件售價﹣單件制造成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，

由題意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，

解得：x1=25，x2=43，

∵銷售單價不得高于30元，

∴x取25，

答：銷售單價定為25元時廠商每周能獲得350萬元的利潤；

【解析】（1）根據利潤w=（每盞節能燈的售價-每盞節能燈的進價）每周的銷量y，即可求出函數解析式。
（2）將（1）中的函數解析式通過配方，求出其頂點坐標，即可得出結果。
（3）此小題的等量關系是：每周獲得的利潤w=350，建立方程求解即可。注意：0＜x≤30.
【考點精析】本題主要考查了因式分解法和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．