Question

如圖1，正方形ABCD是邊長為1的正方形，正方形EFGH的邊HE、HG與正方形ABCD的邊AB、BC交于點M、N，頂點H在對角線BD上移動，設點M、N到BD的距離分別是h_M、h_N，四邊形MBNH的面積是S．
（1）當頂點H和正方形ABCD的中心O重合時（圖1），S=______，h_M+h_N=______

Answer 1

【答案】分析：（1）當頂點H和正方形ABCD的中心O重合時，BH=BD，H點分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．先由正方形的性質得出BD平分∠ABC，∠ABC=90°，由角平分線的性質得到HI=HJ，垂線的定義得到∠HIB=∠HJB=90°，根據一組鄰邊相等的矩形是正方形證明四邊形IBJH是正方形，再利用ASA證明△HMI≌△HNJ，則S_{四邊形MBNH}=S_{正方形HIBJ}，根據正方形的面積公式求出S=BH²=；又S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=BH（h_M+h_N），將數據代入即可求出h_M+h_N=；
（2）當頂點H為OB的中點時，BH=BD，同（1）可求出S=BH²=；h_M+h_N=；
（3）當BH=n時，同（1）可求出S=BH²=n²；h_M+h_N=n．
解答：解：（1）當頂點H和正方形ABCD的中心O重合時，如圖1，
過H點分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∵HI⊥AB于I，HJ⊥BC于J，
∴HI=HJ，∠HIB=∠HJB=90°，
∴四邊形IBJH是正方形．
在△HMI和△HNJ中，
，
∴△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=S_△HMI+S_△HBI+S_△BHJ-S_△HNJ=S_△HBI+S_△BHJ=S_{正方形HIBJ}=BH²=（BD）²=×（）²=；
又∵S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=BH•h_M+BH•h_N=BH（h_M+h_N），
∴=×（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=；

（2）當頂點H為OB的中點時，如圖2，
過H點分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．
同（1）可證，四邊形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四邊形MBNH}=S_{正方形HIBJ}=BH²=（BD）²=×（）²=；
又∵S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=BH•h_M+BH•h_N=BH（h_M+h_N），
∴=×（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=；

（3）當BH=n時，如圖3，
過H點分別作AB、BC的垂線HI和HJ，垂足分別為I、J．
同（1）可證，四邊形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四邊形MBNH}=S_{正方形HIBJ}=BH²=n²；
又∵S_{四邊形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=BH•h_M+BH•h_N=BH（h_M+h_N），
∴n²=n（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=n．
故答案為：（1），；（2），；（3）n²，n．
點評：本題考查了正方形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，三角形、四邊形的面積，綜合性較強，難度一般，體現了由特殊到一般的思想．