Question

已知函數f（x）=ax²+4x+b，其中a＜0，a、b是實數，設關于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，f（x）=x的兩實根為α、β．
（1）若|α-β|=1，求a、b滿足的關系式；
（2）若a、b均為負整數，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）試比較（x₁+1）（x₂+1）與7的大小．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=x的兩實根為α、β，可列出方程用a，b表示兩根α，β，根據|α-β|=1，可求出a、b滿足的關系式．
（2）根據（1）求出的結果和a、b均為負整數，且|α-β|=1，可求出a，b，從而求出f（x）解析式．
（3）因為關于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，用a和b表示出（x₁+1）（x₂+1），討論a，b的關系可比較（x₁+1）（x₂+1）與7的大小的結論．

解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴ax²+4x+b=x，
α=

-3+ 9-4ab

2a

，β=

-3- 9-4ab

2a

．
∵|α-β|=1，
∴

9-4ab

=|a|，
∴a²+4ab-9=0；
（2）∵a、b均為負整數，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2．
（3）∵關于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，
∴ax²+4x+b=0
∴x₁x₂=

b

a

，x₁+x₂=-

4

a

．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

b

a

-

4

a

+1．

b

a

-

4

a

+1-7=

b-4-6a

a

，
∵a＜0，
當b＞6a+4時，（x₁+1）（x₂+1）＜7．
當b=6a+4時，（x₁+1）（x₂+1）=7．
當b＜6a+4時，（x₁+1）（x₂+1）＞7．

點評：本題考查二次函數的綜合運用，考查了確定函數式，方程與函數的關系，以及求一元二次方程的求根公式的應用．