Question

如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點O，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當四邊形ABCD滿足一個什么條件時，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據中位線的判定GH=EF=

1

2

AB，EH=FG=

1

2

CD，所以四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）根據菱形的判定，四邊都相等的四邊形是菱形，只要證明EF=FG=GH=HE就可以了，這就需要AB=CD這個條件．

解答：（1）證明：∵E、F分別是AD，BD的中點，G、H分別中BC，AC的中點，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB；GH∥AB，GH=

1

2

AB．（2分）
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2分）

（2）當AB=CD時，四邊形EFGH是菱形．（1分）
理由：∵E、F分別是AD，BD的中點，H，G分別是AC，BC的中點，G、F分別是BC，BD的中點，E，H分別是AD，AC的中點，
∴EF=

1

2

AB，HG=

1

2

AB，FG=

1

2

CD，EH=

1

2

CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH．
∴四邊形EFGH是菱形．（3分）

點評：此題考查了三個判定：平行四邊形的判定、菱形的判定、中位線的判定，牢記這幾個判定，解此類問題就輕而易舉了．