Question

25、如圖，已知AB=AC，∠A=36°，線段AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，有下面3個結論：
①△BCD是等腰三角形；②△ABC∽△BDC；③點D是線段AC的黃金分割點．
請你從以上結論中只選一個

③

加以證明．（友情提醒：證明①得8分，證明②得10分，證明③得12分）．

Answer 1

分析：由于MN是AB的中垂線，那么AD=BD，于是∠A=∠ABD=36°，利用三角形外角性質可得∠BDC=2∠A=72°，而AB=AC，∠A=36°，易求∠ABC=∠ACB=72°，從而有∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，可證△ABC∽△BDC，于是AB：BD=BC：DC，又BD=AD=BC，AB=AC，等量代換可得AD²=DC•AC．

解答：證明：如右圖所示，
∵MN是AB的中垂線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BD=BC：DC，
又∵BD=AD=BC，AB=AC，
∴AD²=DC•AC．

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質．解題的關鍵是求出∠BDC，并證明△ABC∽△BDC．