Question

如圖，點P是直線y=與雙曲線y=在第一象限內的一個交點，直線y=與x軸、y軸的交點分別為A、C，過P作PB垂直于x軸，若AB+PB=9．
（1）求k的值；（2）求△PBC的面積．

Answer 1

解：（1）∵A、C為直線y=與x軸、y軸的交點，
∴A（-4，0），C（0，2），
設B點坐標為（x，0），∵P是一次函數y=x+2上的點，PB垂直于x軸，
∴P點坐標為（x，x+2），
∴AB+PB=|OA|+|OB|+|PB|=4+x+x+2=x+6，
∵AB+PB=9，∴x+6=9，解得，x=2，∴P點坐標為（2，3），
∵P在雙曲線y=上，
∴k=2×3=6．

（2）法1：∵A（-4，0），B（2，0），P（2，3），C（0，2），
∴S_△ABP-S_△ABC=|AB||BP|-|AB||OC|
=|AB|（|BP|-|OC|）=|-4-2|（3-2）=×6=3．
∴S_△PBC=3．
法2：S_△PBC=PB•OB=×2×3=3．
分析：（1）先根據一次函數的解析式求出A、C兩點的坐標，根據P在一次函數的圖象上設出P點及B點的坐標，根據AB+PB=9即可求出P點坐標，進而求出反比例函數的解析式；
（2）根據P、A、B三點坐標即可求出△ABP的面積及△ABC的面積．二者之差即為△PBC的面積．
點評：本題綜合考查了反比例函數及一次函數圖象上點的坐標特點，三角形的面積公式、兩點間的距離公式，具有一定的綜合性，但難度適中．