Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點．

1.求拋物線的解析式和頂點C的坐標；

2.設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，將∠DCB繞點C按順時針方向旋轉，角的兩邊CD和CB與x軸分別交于點P、Q，設旋轉角為（0°＜＜90°)

    ①當等于多少度時，△CPQ是等腰三角形？

②設，求s與t之間的函數關系式．

 

Answer 1

 

1.解：（1）根據題意，得     解得   

∴= ∴頂點C的坐標為（3，2）

 

2.①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，       ∴∠DCB=∠CBD=45°．……………（4分）

ⅰ）若CQ=CP，則∠PCD=∠PCQ=22.5°．

∴當=22.5°時，△CPQ是等腰三角形．……………（5分）

ⅱ）若CQ=PQ，則∠CPQ=∠PCQ=45°，

此時點Q與D重合，點P與A重合．

∴當=45°時，△CPQ是等腰三角形．……………（6分）

ⅲ）若PC=PQ， ∠PCQ=∠PQC=45°，此時點Q與B重合，點P與D重合．

∴=0°，不合題意．  

 ∴當=22.5°或45°時，△CPQ是等腰三角形．………（7分）

② 連接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，∴∠ACD=∠CAD=，

 AC= BC=……………（8分）

ⅰ）當時，∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°．

∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°．∴∠ACQ=∠BPC．  又∵∠CAQ=∠PBC=45°，

∴△ACQ∽△BPC．∴．∴AQ·BP=AC·BC=×=8……………（9分）

ⅱ）當時，同理可得AQ·BP=AC·BC=8   ∴．

解析:略