Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，點G在邊BC的延長線上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于點O．
（1）求證：OE=OF；
（2）若點O為CD的中點，求證：四邊形DECF是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代換∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代換有OE=OF；
（2）由于O是CD中點，故OD=OC，而OE=OF，那么易證四邊形DECF是平行四邊形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分線，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，從而可證四邊形DECF是矩形．
解答：證明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF，（1分）
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，（1分）
∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，（1分）
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；（2分）

（2）∵點O為CD的中點，
∴OD=OC，
又OE=OF，
∴四邊形DECF是平行四邊形，（2分）
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴，（2分）
∴，（2分）
即∠ECF=90°，
∴四邊形DECF是矩形．（1分）
點評：本題利用了角平分線的定義、平行線的性質、等角對等邊、等量代換、平行四邊形的判定、矩形的判定．