Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+與直線y=x交于點A，點B在直線y=x+上，∠BOA=90°．拋物線y=ax²+bx+c過點A，O，B，頂點為點E．
（1）求點A，B的坐標；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點E的坐標；
（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=x+與直線y=x交于點A，列出方程組，通過解該方程組即可求得點A的坐標；根據(jù)∠BOA=90°得到直線OB的解析式為y=-x，則，通過解該方程組來求點B的坐標即可；
（2）把點A、B、O的坐標分別代入已知二次函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)a、b、c的方程組，通過解方程組即可求得該拋物線的解析式；
（3）如圖，作DN⊥x軸于點N．欲證明OD與CF平行，只需證明同位角∠CMN與∠DON相等即可．
解答：解：（1）由直線y=x+與直線y=x交于點A，得
，
解得，，
∴點A的坐標是（3，3）．
∵∠BOA=90°，
∴OB⊥OA，
∴直線OB的解析式為y=-x．
又∵點B在直線y=x+上，
∴，
解得，，
∴點B的坐標是（-1，1）．
綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（-1，1）．

（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（-1，1）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A，O，B，
∴，
解得，，
∴該拋物線的解析式為y=x²-x，或y=（x-）²-．
∴頂點E的坐標是（，-）；

（3）OD與CF平行．理由如下：
由（2）知，拋物線的對稱軸是x=．
∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，
∴C（，）．
設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（，）代入，得
，
解得，，
∴直線BC的解析式為y=-x+．
∵直線BC與拋物線交于點B、D，
∴-x+=x²-x，
解得，x₁=，x₂=-1．
把x₁=代入y=-x+，得y₁=，
∴點D的坐標是（，）．
如圖，作DN⊥x軸于點N．
則tan∠DON==．
∵FE∥x軸，點E的坐標為（，-）．
∴點F的縱坐標是-．
把y=-代入y=x+，得x=-，
∴點F的坐標是（-，-），
∴EF=+=．
∵CE=+=，
∴tan∠CFE==，
∴∠CFE=∠DON．
又∵FE∥x軸，
∴∠CMN=∠CFE，
∴∠CMN=∠DON，
∴OD∥CF，即OD與CF平行．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，平行線的判定以及銳角三角函數(shù)的定義等知識點．此題難度較大．