Question

（2013•鹽城模擬）如圖（1），分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點（圓心在x軸上）交y軸于另一點Q，拋物線y=

1

4

x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，B點坐標為（2，2）．
（1）求拋物線的函數解析式和點E的坐標；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）如圖（2），點R從正方形CDEF的頂點E出發以1個單位/秒的速度向點F運動，同時點S從點Q出發沿y軸以5個單位/秒的速度向上運動，連接RS，設運動時間為t秒（0＜t＜1），在運動過程中，正方形CDEF在直線RS下方部分的面積是否變化？若不變，說明理由并求出其值；若變化，請說明理由；

Answer 1

分析：（1）根據點B的坐標以及正方形的性質求出點A、C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；根據垂徑定理可得圓心P為AB的垂直平分線與x軸的交點，連接PE、PA，根據勾股定理表示出PA²，設正方形CDEF的邊長為a，表示出PF，然后在Rt△PEF中，利用勾股定理列式進行計算即可求出a的值，然后求出OF，即可得到點E的坐標；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點G的坐標，然后得到點M的坐標，再求出FM、PM，然后利用勾股定理逆定理判定PE⊥EM，再根據切線的定義得證；
（3）表示出點S、R的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線SR的解析式，再求出SR與CD的交點坐標，然后根據梯形的面積公式列式進行計算即可求出正方形CDEF在直線RS下方部分的面積為定值．

解答：（1）解：B點坐標為（2，2），四邊形OABC是正方形，
∴點A（0，2），C（2，0），
∵拋物線y=

1

4

x²+bx+c經過點A、C，
∴

c=2 1 4 ×4+2b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=2

，
∴拋物線解析式為y=

1

4

x²-

3

2

x+2；
根據垂徑定理，AB的垂直平分線與x軸的交點為圓心P，即P（1，0），
如圖，連接PE、PA，則PE²=PA²=OA²+OP²=2²+1²=5，
設正方形CDEF的邊長為a，
則PF=a+1，
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²，
即5=（a+1）²+a²，
整理得，a²+a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-2（舍去），
∴OF=OC+CF=2+1=3，
∴點E的坐標為（3，1）；

（2）證明：令y=0，則

1

4

x²-

3

2

x+2=0，
整理得，x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴點G的坐標為（4，0），
∴點M是FG的中點，
∴點M（3.5，0），
∴FM=3.5-3=0.5，
PM=3.5-1=2.5，
在Rt△EFM中，EM²=EF²+FM²=1²+0.5²=

5

4

，
∴PE²+EM²=5+

5

4

=

25

4

，
∵PM²=2.5²=

25

4

，
∴PE²+EM²=PM²，
∴△PEM是直角三角形，且PE⊥EM，
∴ME是⊙P的切線；

（3）解：不變，面積為

1

2

．
理由如下：∵圓心P在x軸上，點A的坐標為（0，2），
∴點Q的坐標為（0，-2），
∵點R的速度為1個單位/秒，點S的速度為5個單位/秒，
∴點R（3，1-t），S（0，5t-2），
設直線RS的解析式為y=mx+n，
則

3m+n=1-t n=5t-2

，
解得

m=-2t+1 n=5t-2

，
所以，直線RS的解析式為y=（-2t+1）x+5t-2，
當x=2時，y=（-2t+1）×2+5t-2=-4t+2+5t-2=t，
又∵RF=1-t，
∴正方形CDEF在直線RS下方部分的面積=

1

2

[t+（1-t）]×1=

1

2

，與t無關，是定值，
即正方形CDEF在直線RS下方部分的面積不變，為

1

2

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了正方形的性質，待定系數法求函數解析（包括二次函數解析式，一次函數解析式），勾股定理的應用，圓的切線的判定，（3）的求解較為巧妙，利用直線RS的解析式確定與CD的交點是解題的關鍵．