Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．利用等腰△AOC的兩個底角相等證得∠CAO=∠OCA．然后角平分線的性質推知∠DAC=∠CAO，則內錯角∠DAC=∠OCA，所以AD∥OC；最后由切線的性質證得結論；
（2）連接BC．在直角△ADC中利用勾股定理求得AC=3．然后通過相似三角形△ADC∽△ACB的對應邊成比例求得AB=；由角平分線線的性質知∠DAC=∠CAO，則．
解答：（1）證明：連接OC．
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AD∥OC．
又∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥DC；

（2）解：連接BC．
由（1）知，∠ADC=90°，
∴根據勾股定理知，．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即．
∴，
∴．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．