Question

已知：如圖，二次函數的圖象是由y=-x²向右平移1個單位，再向上平移4個單位所得到．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若點P是拋物線對稱軸l上一動點，求使AP+CP最小的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數圖象“左加右減，上加下減”的平移規律即可得到新的二次函數的解析式和對稱軸；
（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B （3，0），由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，依此求點P的坐標．

解答：解：（1）二次函數的解析式：y=-（x-1）²+4，對稱軸為直線x=1；

（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．
要使PA+PC最小．
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是點B（3，0），拋物線y=-x²+2x+3與y軸交點C的坐標為（0，3）．
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小
設直線BC的解析式為y=kx+3，將B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3，
∴當x=1時，y=2．
∴點P的坐標為（1，2）．

點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：二次函數圖象的幾何變換，重點是找出平移變換的關系，軸對稱-最短距離，兩點之間線段最短．