Question

如圖，已知Rt△ABO，∠BAO＝90°，以點O為坐標原點，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，AO＝3，∠AOB＝30°，將Rt△ABO沿OB翻折后，點A落在第一象限內的點D處．

(1)求D點坐標；

(2)若拋物線y＝ax²＋bx＋3(a≠0)經過B、D兩點，求此拋物線的表達式；

(3)若拋物線的頂點為E，它的對稱軸與OB交于點F，點P為射線OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M．是否存在點P，使得以E、F、M、P為頂點的四邊形為等腰梯形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考公式：拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標是(－，)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)過點D作DC⊥x軸于點C，如圖(1)．(1分) 　　由翻折可知：DO＝AO＝3， 　　∠AOB＝∠BOD＝30°， 　　∴∠DOC＝30°． 　　在Rt△COD中， 　　OC＝OD·cos30°＝3×＝， 　　CD＝OD·sin30°＝3×＝， 　　∴D()．(4分) 　　(2)在Rt△AOB中， 　　AB＝AO·tan30°＝3×＝， 　　∴B(，3)． 　　∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過B(，3)，D()兩點， 　　∴ 　　解得 　　∴此拋物線表達式為y＝－x2＋x＋3．(8分) 　　(3)存在符合條件的點P，設P(x，y)， 　　作EH⊥PM于點H，FG⊥PM于點G，如圖(2)． 　　∵E為拋物線y＝－x2＋x＋3的頂點， 　　∴E()．(10分) 　　設OB所在直線的表達式為y＝kx， 　　將點B(，3)代入，得k＝， 　　∴y＝x． 　　∵P在射線OB上， 　　∴P(x，x)，F()． 　　則H(x，)，G(x，)． 　　∵M在拋物線上，M． 　　要使四邊形EFMP為等腰梯形，只需PH＝GM． 　　，(12分) 　　即－x2＋x＋3＋x＝5． 　　解得x1＝2，x2＝． 　　∴P1點坐標為(2，6)，P2點坐標為()．