Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A（2，5），B（0，2），C（4，2）．
（1）求這個二次函數關系式；
（2）若在平面直角坐標系中存在一點D，使得四邊形ABDC是菱形，請直接寫出圖象過B、C、D三點的二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別把A（2，5），B（0，2），C（4，2）代入y=-x²+bx+c，利用待定系數法可得b=3，c=2，從而得出這個二次函數關系式；
（2）先求出D點的坐標，再把B、C、D三點的坐標代入，即可求出二次函數的關系式．
解答：解：（1）分別把A（2，5），B（0，2），C（4，2）代入y=-x²+bx+c，
得
解得，
故這個二次函數的解析式為：y=-x²+3x+2；

（2）∵點A、B、C的坐標分別是（2，5），（0，2），（4，2）．
∴當四邊形ABDC是菱形時，點D的坐標是（2，-1），
設二次函數的解析式為：y=ax²+bx+c，
把B、C、D三點的坐標代入得：

解得：
所以圖象過B、C、D三點的二次函數的關系式：
y=x²-3x+2．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求拋物線的解析式，關鍵是根據菱形的性質和點A、B、C的坐標求出點D的坐標．