Question

（2010•郴州）如圖（1），拋物線y=x²+x-4與y軸交于點A，E（0，b）為y軸上一動點，過點E的直線y=x+b與拋物線交于點B、C．
（1）求點A的坐標；
（2）當b=0時（如圖（2）），△ABE與△ACE的面積大小關系如何？當b＞-4時，上述關系還成立嗎，為什么？
（3）是否存在這樣的b，使得△BOC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道拋物線的解析式，要求與y軸的交點，令x=0就能求得．
（2）當b=0時，直線為y=x，聯立兩方程式解得交點坐標，由三角形面積公式分別求出兩三角形的面積．當b＞-4時，仍然聯立方程解坐標，作BF⊥y軸，CG⊥y軸，垂足分別為F、G，解得BF和CG的值，再由面積公式求面積值．
（3）由BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，可證△BEF≌△CEG，可知BE=CE，即E為BC的中點，當OE=CE時，△OBC為直角三角形，解三角形得到答案．
解答：解：（1）將x=0，代入拋物線解析式，得點A的坐標為（0，-4），

（2）當b=0時，直線為y=x，由，
解得，．
∴B、C的坐標分別為（-2，-2），（2，2），，
∴S_△ABE=S_△ACE．
當b＞-4時，仍有S_△ABE=S_△ACE成立．理由如下
由，
解得，．
故B、C的坐標分別為（-，-+b），（，+b），
作BF⊥y軸，CG⊥y軸，垂足分別為F、G，則，
而△ABE和△ACE是同底的兩個三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．

（3）存在這樣的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E為BC的中點，
∴當OE=CE時，OE=BC，此時△OBC為直角三角形．
∵，
∴，而OE=|b|，
∴，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴當b=4或-2時，△OBC為直角三角形．
點評：本題主要考查二次函數的應用，是一道綜合性很強的習題，做題需要細心．