Question

如圖，直線y=x-1與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于點A（2，m）．
（1）求m、k的值．
（2）利用圖象寫出當x為何值時，一次函數的值大于反比例函數的值．
（3）連接OA，在x軸的正半軸上是否存在一點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為點A（2，m）在直線y=x-1上，把A點坐標代入解析式就可以求出m的值；再把A代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）中即可求出k的值．
（2）根據一次函數和反比例函數的圖象特征即增減性可以確定一次函數的值大于反比例函數的值時x的取值范圍．
（3）要求點P需要用到等腰三角形的性質和等腰三角形成立的條件來判斷點P的位置．

解答：解：（1）∵點A（2，m）在直線y=x-1上，
∴m=2-1=1．
∴點A的坐標是（2，1）．
∵點A（2，1）在雙曲線y=

k

x

上，
∴1=

k

2

，
∴k=2；

（2）由圖象得：當x＞2時，一次函數的值大于反比例函數的值；

（2）存在．
過點A作AD⊥x軸，交x軸于D，
∵OA=

22+1

=

5

，
∴sin∠AOP=

OD

OA

=

5

2

，
①當OP=AP時，
過點P作PC⊥OA，
∴OC=

5

2

，
∴sin∠AOP=

OP

OC

=

5

2

，
∴CP=

5

4

，
∴P₁（

5

4

，0）；
②當OP=OA時，P₂（

5

，0）；
③當OP=OA時，
∴OD=PD=2，
∴P₃（4，0）．
∴使△AOP是等腰三角形的點為：P₁（

5

4

，0），P₂（

5

，0），P₃（4，0）．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及函數圖象上的點與解析式的關系，圖象上的點一定滿足函數解析式．