Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分C₁與經過點A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，-），點M是拋物線C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的頂點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當△BDM為直角三角形時，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將y=mx²-2mx-3m化為交點式，即可得到A、B兩點的坐標；
（2）先用待定系數法得到拋物線C₁的解析式，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數法得到直線BC的解析式，再根據三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值；
（3）先表示出DM²，BD²，MB²，再分兩種情況：①DM²+BD²=MB²時；②DM²+MB²=BD²時，討論即可求得m的值．
解答：解：（1）y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴當y=0時，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設C₁：y=ax²+bx+c，將A、B、C三點的坐標代入得：
，
解得，
故C₁：y=x²-x-．
如圖：過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，
由B、C的坐標可得直線BC的解析式為：y=x-，
設P（x，x²-x-），則Q（x，x-），
PQ=x--（x²-x-）=-x²+x，
S_△PBC=PQ•OB=×（-x²+x）×3=-（x-）²+，
當x=時，S_△PBC有最大值，Smax=，
×（）²--=-，
P（，-）；

（3）y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
頂點M坐標（1，-4m），
當x=0時，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
當△BDM為Rt△時有：DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD²．
①DM²+BD²=MB²時有：m²+1+9m²+9=16m²+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM²+MB²=BD²時有：m²+1+16m²+4=19m²+9，
解得m=-（m=舍去）．
綜上，m=-1或-時，△BDM為直角三角形．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：拋物線的交點式，待定系數法求拋物線的解析式，待定系數法求直線的解析式，三角形的面積公式，配方法的應用，勾股定理，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．