Question

如圖，已知矩形ABCD中，F(xiàn)是BC上一點，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，連接DF．求證：
（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠AFB，求出AF=AD，根據(jù)AAS證出即可；
（2）有全等推出DE=AB=DC，根據(jù)HL證△DEF≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠DEA=∠B=90°，
∵AF=BC，
∴AF=AD，
在△ABF和△DEA中
∵，
∴△ABF≌△DEA（AAS）；

（2）證明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，
∴DE=AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB，
∴DC=DE．
∵∠C=∠DEF=90°
∴在Rt△DEF和Rt△DCF中

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）
∴∠EDF=∠CDF，
∴DF是∠EDC的平分線．
點評：本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)等知識點，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，