Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、AD的中點，連接AC、CE和EF，設AC和EF的交點為M．
（1）求證：△AMF∽△CME；
（2）若AC=12 cm，求AM的長；
（3）若△AMF的面積為1 cm²，則梯形ABCD的面積是

 

cm²．

Answer 1

分析：（1）要證△AMF∽△CME，容易發現對頂角是相等的，只要∠1=∠2即可，只要四邊形AECD是平行四邊形即可，由已知CD平行且等于ME，（1）可完成．
（2）可利用相似三角形的性質對應邊成比例來解決．
（3）利用相似三角形的性質可求得△MEC的面積是1×4=4，利用ME=2MF，求得△AME的面積是1×2=2，又AE=BE所以三角形EBC的面積是6，而三角形ADC的面積等于三角形AEC的面積，可求出總面積．

解答：解：（1）證明如下：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、AD的中點，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD∥CE，AD=CE
∴△AFM∽△CEM；

（2）由（1）知AD∥CE，AD=CE
∴

AF

CE

=

AM

MC

又F為AD的中點
AF=

1

2

AD=

1

2

CE
∴

AM

AC-AM

=

1

2

即

AM

12-AM

=

1

2

解得AM=4；

（3）由（1）得△AFM∽△CEM
∴三角形MEC的面積是1×4=4
又

ME

MF

=

EC

AF

=2
∴三角形AME的面積是1×2=2
∴三角形AEC的面積是2+4=6
三角形ADC的面積等于三角形AEC的面積等于6
E為AB的中點
∴三角形EBC的面積是6
∴梯形ABCD的面積是6+6+6=18
故填18．

點評：相似的判定中，兩角相等最好用，實際應用時要首先進行思考能不能應用兩角相等來證明，再思考其它的方法．計算線段的大小，常用成比例的線段來解決．