Question

某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為40只，且每日產出的產品全部售出．已知生產x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元），且R、P與x的關系式分別為R=500+30x，P=170-2x．
（1）當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元？
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）∵生產x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元），且R，P與x的關系式分別為R=500+30x，P=170-2x，
∴（170-2x）x-（500+30x）=1750，
解得 x₁=25，x₂=45（大于每日最高產量為40只，舍去）．

（2）設每天所獲利潤為W，
由題意得，W=（170-2x）x-（500+30x）
=-2x²+140x-500
=-2（x²-70x）-500
=-2（x²-70x+35²-35²）-500
=-2（x²-70x+35²）+2×35²-500
=-2（x-35）²+1950．
當x=35時，W有最大值1950元．
答：當日產量為25只時，每日獲得利潤為1750元；要想獲得最大利潤，每天必須生產35個工藝品，最大利潤為1950．