Question

（2013•赤峰）如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點，NP平分∠MNQ．
（1）求證：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半徑R=3，NP=3

3

，求NQ的長．

Answer 1

分析：（1）連接OP，則OP⊥PQ，然后證明OP∥NQ即可；
（2）連接MP，在直角△MNP中，利用三角函數求得∠MNP的度數，即可求得∠PNQ的值，然后在直角△PNQ中利用三角函數即可求解．

解答：（1）證明：連接OP．
∵直線PQ與⊙O相切于P點，
∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，
∴∠OPN=∠ONP，
又∵NP平分∠MNQ，
∴∠OPN=∠PNQ，
∴OP∥NQ
∴NQ⊥PQ；

（2）解：連接MP．
∵MN是直徑，
∴∠MPN=90°，
∴cos∠MNP=

NP

MN

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠MNP=30°，
∴∠PNQ=30°，
∴直角△PNQ中，NQ=NP•cos30°=3

3

×

3

2

=

9

2

．

點評：本題考查了切線的性質以及三角函數，正確利用三角函數求得∠MNP的度數是關鍵．