Question

【題目】如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，、是上的兩點(diǎn)，，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）求證：

（3）若，，求弦的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即結(jié)論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，則CE=CF；

（3）證明△CBD∽△DCA，可求出DA的長(zhǎng)，求出AB長(zhǎng)，設(shè)BC=a，AC=a，則由勾股定理可得AC的長(zhǎng)．

（1）連，

∵，

∴，

又，，

∴，

∵是的直徑，

∴，

∴，

，

∴，且過(guò)半徑的外端點(diǎn)，

∴是的切線(xiàn)；

（2）在和中，，

，為公共邊，

∴，

∴，又，

∴；

（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，

∴△CBD∽△DCA，

∴，

∴，

∴DA=2，

∴AB=AD-BD=2-1=1，

設(shè)BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12，

解得：a=，

∴AC＝．