Question

如圖，已知點C是∠MAN的平分線上一點，CE⊥AB于E，B、D分別在AM、AN上，且AE=（AD+AB）．問：∠1和∠2有何關系？

Answer 1

略證：∠1與∠2互補．
法1：作CF⊥AN于F（如圖），
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
在Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE．
∵AE=（AD+AB）=（AF-DF+AE+EB）=AE+（BE-DF），
∴BE-DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°；

法2：在AM上截取AF=AD，連接CF（如圖），
∵∠3=∠4，AC為公共邊，
∴△ADC≌△AFC，
∴∠1=∠5，
∵AE=（AD+AB）=（AF+AE+EB）=（AE-EF+AE+EB），
∴EB-EF=0，所以EF=EB，
又∵CE⊥AB，
∴BC=FC，∴∠2=∠6，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2=180°．
分析：通過作輔助線，由三角形全等得到AF=AE或AF=AD，由已知條件從而證得．
點評：本題利用角平分線性質，作輔助線得到三角形全等，并利用已知條件來求得．