Question

【題目】如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點處，折痕的一端G點在邊BC上．

（1）如圖1，當折痕的另一端F在AB邊上且AE＝4時，求AF的長；

（2）如圖2，當折痕的另一端F在AD邊上且BG＝10時，

①求證：△EFG是等腰三角形；②求AF的長；

（3）如圖3，當折痕的另一端F在AD邊上，B點的對應點E到AD的距離是4，且BG＝5時，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）AF＝3；（2）①見解析；②AF＝6；（3）AF＝1

【解析】

（1）根據翻折的性質可得BF＝EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）①根據翻折的性質可得∠BGF＝∠EGF，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BGF＝∠EFG，從而得到∠EGF＝∠EFG，再根據等角對等邊證明即可；

②根據翻折的性質可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式計算即可得解；

（3）設EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根據△GEN和△EKM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根據△FKH和△EKM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

（1）解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，

∴BF＝EF，

∵AB＝8，

∴EF＝8﹣AF，

在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，

即42+AF2＝（8﹣AF）2，

解得AF＝3；

（2）①證明：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，

∴∠BGF＝∠EGF，

∵長方形紙片ABCD的邊AD∥BC，

∴∠BGF＝∠EFG，

∴∠EGF＝∠EFG，

∴EF＝EG，

∴△EFG是等腰三角形；

②解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，

∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，

∴EF＝EG＝10，

在Rt△EFH中，FH＝＝6，

∴AF＝FH＝6；

（3）解：如圖3，設EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，

∵E到AD的距離為4，

∴EM＝4，EN＝8﹣4＝4，

在Rt△ENG中，EG=BG=5，

∴GN＝＝3，

∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，

∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠KEM＝∠NGE，

又∵∠ENG＝∠KME＝90°，

∴△GEN∽△EKM，

∴，

即，

解得EK＝，KM＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，

∴△FKH∽△EKM，

∴，

即，

解得FH＝1，

∴AF＝FH＝1．