Question

如圖，△PQR是⊙O的內接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，BC∥QR，則∠AOQ=

 

．

Answer 1

考點：圓周角定理,垂徑定理

專題：計算題

分析：連結OD，根據等邊三角形性質得PQ=PR=QR，則∠POQ=

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×360°=120°，根據圓內接等邊三角形的性質有OP⊥QR，而BC∥QR，所以OP⊥BC，根據四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，則OP⊥AD，∠AOD=90°，然后根據垂徑定理可得∠AOP=∠DOP=45°，再利用∠AOQ=∠POQ-∠AOP計算即可．

解答：解：連結OD，如圖，
∵△PQR是⊙O的內接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=

1

3

×360°=120°，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90°，
∴弧AP=弧DP，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=

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2

×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．
故答案為75°．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．