Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x²+2x+c過點A（-1，0）；直線l：y=-x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點M；拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標．
（2）過點A作AP⊥l于點P，P為垂足，求點P的坐標．
（3）若N為直線l上一動點，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點E．問：是否存在這樣的點N，使得以點D、M、N、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將點（-1，0）代入y=-x²+2x+c，
得0=-1-2+c，
解得：c=3．
故可得拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
將拋物線的解析式化為頂點式為y=-（x-1）²+4，
故頂點D的坐標為（1，4）；

（2）由（1）y=-x²+2x+3，可得點B坐標為（4，0），
設點P的坐標為（x，y），
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5．
又∵△ABP∽△CBO，
∴=，
故PB=×AB=×5=4，
又∵P_y=PBsin∠CBO，
∴P_y=4×=，
代入y=-x+3可得：=-x+3，
解得 x=．
所以點P坐標為（，）；

（3）將x=1代入y=-x+3，得y=，故點M的坐標為（1，），
即可得DM=D_縱坐標-M_縱坐標=4-=，
要使得以點D、M、N、E為頂點的四邊形為平行四邊形，只需NE=DM即可，
即只要NE=即可，
設點N坐標為（x，-x+3），點E坐標為（x，-x²+2x+3），
①由NE=E_縱坐標-N_縱坐標=（-x²+2x+3）-（-x+3）=，得4x²-11x+7=0，
解之得x=或x=1（此時點N和D、M共線，不合題意，舍去），
②由NE=N_縱坐標-E_縱坐標=（-x+3）-（-x²+2x+3）=，得4x²-11x-7=0，
解得：x=，
綜上所述，滿足題意的點N的橫坐標為x₁=，x₂=，x₃=．
分析：（1）將點A的坐標代入拋物線解析式即可得出c的值，從而得出了函數解析式，化為頂點式可直接得出點D的坐標；
（2）先求出OB、BC，然后根據△ABP∽△OBC，求出PB，再由P_y=PBsin∠CBO，可得出點P的縱坐標，代入函數解析式可得出橫坐標；
（3）根據題意可得要使得以點D、M、N、E為頂點的四邊形為平行四邊形，只需NE=DM即可，從而得出方程，求解即可得出點N的坐標．
點評：此題考查了二次函數的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定及解方程的知識，解答此類大綜合題關鍵是能夠將所學的知識融會貫通．