Question

請閱讀下面知識：
梯形中位線的定義：梯形兩腰中點的連線，叫做梯形的中位線．如圖，E，F是梯形ABCD兩腰AB，CD的中點，則EF是梯形的中位線梯形中位線與兩底長度的關系：梯形中位線長度等于兩底長的和的一半如圖：EF=

1

2

（AD+BC）利用上面的知識，完成下面題目的解答已知：直線l與拋物線M交于點A，B兩點，拋物線M的對稱軸為y軸，過點A，B作x軸的垂線段，垂足分別為D，C，已知A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）
（1）求梯形ABCD中位線的長度；
（2）求拋物線M的解析式；
（3）把拋物線M向下平移k個單位，得拋物線M₁（拋物線M₁的頂點保持在x軸的上方），與直線l的交點為A₁，B₁，同樣作x軸的垂線段，垂足為D₁，C₁，問此時梯形A₁B₁C₁D₁的中位線的長度（設為h）與原來相比是否發生變化？若不變，說明理由．若有改變，求出h與k的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據A、B兩點的坐標求出AD、BC的長度，再由中位線定理求出梯形ABCD中位線的長度即可；
（2）設拋物線的解析式為y=ax²+b（a≠0），把A、B兩點的坐標代入即可求出ab的值，進而得出拋物線的解析式；
（3）把直線AB的解析式同拋物線的解析式聯立即可出x₁、x₂的表達式，再代入直線AB的解析式即可得出A₁、B₁的坐標，進而可得出A₁D₁及B₁C₁的長度，由中位線定理即可求出梯形A₁B₁C₁D₁的中位線的長度．

解答：解：（1）∵A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）
∴AD=3，BC=

3

2

，
∴梯形ABCD中位線=

1

2

（AD+BC）=

1

2

×（3+

3

2

）=

9

4

；

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+b（a≠0），
∵點A（-1，3），B（

1

2

，

3

2

）在拋物線上，
∴

a+b=3 1 4 a+b= 3 2

，解得

a=2 b=1

，
∴拋物線的解析式為：y=2x²+1；

（3）∵拋物線M向下平移k個單位得拋物線M₁，
∴拋物線M₁的解析式為y=2x²+1-k，
∴

y=-x+2 y=2x2+1-k

，
解得x₁=

-1- 8k+9

4

，x₂=

-1+ 8k+9

4

（其中x₁＜x₂）
代入y=-x+2得，y₁=-

-1- 8k+9

4

+2，y₂=-

-1+ 8k+9

4

+2，
∴y₁+y₂=（-

-1- 8k+9

4

）+（-

-1+ 8k+9

4

）=

9

2

，
∴梯形A₁B₁C₁D₁的中位線長為

9

4

，保持不變．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式、梯形的中位線定理等相關知識，難度適中．