Question

（2013•香坊區三模）如圖，OA、OB為⊙O的半徑，OA⊥OB，連接AB，點C、D分別為OB、OA的中點，線段AC、BD相交于E
（1）求證：AC=BD；
（2）若BE=2

5

，求⊙O的半徑OA的長．

Answer 1

分析：（1）求出OC=OD，根據SAS證出△AOC≌△BOD即可．
（2）連接DC，根據三角形中位線求出△DCE∽△BAE，得出比例式，求出DE，求出DB，根據勾股定理求出OD，即可得出答案．

解答：解：（1）∵OA=OB，點C、D分別為OB、OA的中點，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠O=∠O OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．

（2）連接DC，
∵點C、D分別為OB、OA的中點，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DEC=∠AEB，
∴△DCE∽△BAE，
∴

DC

AB

=

DE

BE

=

1

2

，
∴DE=

1

2

BE=

5

，
∴DB=3

5

，
在Rt△OBD中，OD²+（2OD）²=BD²，
∴OD=3，
∴BO=AO=2OD=6．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，三角形中位線，勾股定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．