Question

已知：如圖，直線MN經(jīng)過▱ABCD的頂點(diǎn)A，BB′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，B′、C′、D′是垂足．

（1）求證：CC′=BB′+DD′．

（2）現(xiàn)將直線MN向上或向下平移，請(qǐng)分別按下面要求畫出示意圖，寫出這時(shí)四條垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間的等量關(guān)系式．并簡(jiǎn)要說明證明思路．

（ⅰ）使點(diǎn)A、B、C、D都在直線MN的同一側(cè)，這時(shí)　　　　　　；

（ⅱ）使A點(diǎn)在MN的一側(cè)，點(diǎn)B、C、D在另一側(cè)，這時(shí)　　　　　　；

（ⅲ）使點(diǎn)A、B在MN的一側(cè)，點(diǎn)C、D在另一側(cè)，這時(shí)　　　　　　．

Answer 1

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）如圖1中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于O′，利用三角形中位線定理以及梯形中位線定理即可證明．

（2）（ⅰ）如圖2中，結(jié)論AA′+CC′=BB′+DD，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，利用梯形中位線定理可以證明AA′+CC′=BB′+DD．

（ⅱ）如圖3中，結(jié)論CC′﹣AA′=BB′+DD，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，延長(zhǎng)A′O交CC′于E，只要證明CC′﹣AA′=2OO′．BB′+DD′=2OO′即可．

（ⅲ）如圖4中，結(jié)論CC′﹣AA′=DD′﹣BB，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，證明方法類似．

【解答】（1）證明：如圖1中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于O′．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=OC，BO=BD，

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′，

∴B′O′=O′D′，AO′=O′C′，

∴CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，

∴CC′=BB′+DD′．

（2）（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)A、B、C、D都在直線MN的同一側(cè)，

如圖2中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，

∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，

∴AA′+CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，

∴AA′+CC′=BB′+DD′，

故答案為AA′+CC′=BB′+DD′

（ⅱ）當(dāng)A點(diǎn)在MN的一側(cè)，點(diǎn)B、C、D在另一側(cè)，如圖3中，

如圖3中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，延長(zhǎng)A′O交CC′于E．

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，

∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，

∴BB′+DD′=2OO′，

∵AA′∥CE，

∴∠AA′O=∠OEC，

在△AA′O和△CEO中，

，

∴△AA′O≌△CEO，

∴AA′=EC，A′O=OE，

∴EC′=2OO′，即CC′﹣AA′=2OO′，

∴CC′﹣AA′=BB′+DD′，

故答案為CC′﹣AA′=BB′+DD．                     

（ⅲ）當(dāng)點(diǎn)A、B在MN的一側(cè)，點(diǎn)C、D在另一側(cè)，

如圖4中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，

∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，

同理可以證明：CC′﹣AA′=2OO′，DD′﹣BB′=2OO′，

∴CC′﹣AA′=DD′﹣BB′，

故答案為CC′﹣AA′=DD′﹣BB′．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，利用中位線定理解決問題，題目有點(diǎn)難度，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線、梯形中位線解決．