Question

如圖，在直角坐標系xoy中，A、B是x軸上兩點，以AB為直徑的圓交y軸于C點，設過A、B、C三點的拋物線解析式為y=x²-px+q，若方程x²-px+q=0兩根的倒數和為-2
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設平行于x軸的直線交該拋物線于E、F兩點，問是否存在以線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切？若存在，求出此圓的圓心和半徑；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB是圓的直徑，根據相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，若設A（x₁，0），B（x₂，0），那么q²=-x₁x₂，根據根與系數的關系知x₁x₂=q，聯立兩式即可求得q的值，根據韋達定理可求得方程的兩根之和與兩根之積，即可表示出它們的倒數和，已知了倒數和為2，即可求得p的值，由此確定拋物線的解析式；
（2）存在以線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切，理由為：求出拋物線的對稱軸，設出圓的半徑為|r|，根據對稱軸得到E與F的坐標，將E坐標代入拋物線解析式求出r的值，進而確定出此時圓心坐標．
解答：解：（1）由題意，設A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，q），
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，即q²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，
∴x₁•x₂=q，
∴q²=-q，
∴q₁=-1，q₂=0（舍去），
∴q=-1，
∵x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，
∴x₁+x₂=p，
又∵q=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴+====-2，
∴p=2，
∴所求拋物線的關系式為y=x²-2x-1；

（2）存在，理由為：
拋物線的對稱軸為直線x=1，
設滿足題意圓的半徑為|r|，可得出E（1+|r|，|r|）或F（1-|r|，|r|），
將E坐標代入拋物線得：|r|=（1+|r|）²-2（1+|r|）-1，
解得：|r|=2，
∴E（3，2），F（-1，2），
∴線段EF的中點坐標為（1，2），即為此時圓心坐標．
點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：相交弦定理，坐標與圖形性質，根與系數的關系，二次函數的性質，是一道綜合性較強的壓軸題．